Nilai maksimum dan minimum dari fungsi \( f(x) = 2 \sin(3x+5)+1 \) adalah…
- 2 dan 1
- 2 dan -1
- 3 dan 1
- 3 dan -1
- 4 dan -1
Pembahasan:
Kita bisa gunakan uji turunan pertama dan kedua untuk mencari nilai maksimum/minimum dari suatu fungsi. Ingat bahwa jika \(x=a\) memenuhi \( f’(a) = 0 \) dan \(f’’(a) > 0\) maka \(x=a\) adalah pembuat \(f(x)\) minimum atau nilai minimum \(f(x)\) adalah \(f(a)\). Sebaliknya, jika \(x=a\) memenuhi \(f’(a) = 0\) dan \(f’’(a) < 0\) maka \(x=a\) adalah pembuat \(f(x)\) maksimum atau nilai maksimum \(f(x)\) adalah \(f(a)\).
\begin{aligned} f(x) &= 2 \sin(3x+5)+1 \\[8pt] f'(x) &= 2 \cos(3x+5) \cdot 3 \\[8pt] 0 &= 6 \cos(3x+5) \\[8pt] 0 &= \cos(3x+5) \\[8pt] 3x+5 = 90^\circ \ &\text{atau} \ 3x+5 = 270^\circ \end{aligned}
Berdasarkan hasil yang kita peroleh di atas, \(f(x)\) akan maksimum/minimum di \(3x+5 = 90^\circ\) atau \(3x+5 = 270^\circ\). Selanjutnya, berdasarkan uji turunan kedua, kita peroleh:
\begin{aligned} f(x) &= 2 \sin(3x+5)+1 \\[8pt] f'(x) &= 6 \cos(3x+5) \\[8pt] f''(x) &= -6 \sin(3x+5) \cdot 3 \\[8pt] &= -18 \sin(3x+5) \\[8pt] 3x+5=90^\circ &\Leftrightarrow f''(x) = -18 \sin 90^\circ \\[8pt] &= -18 < 0 \\[8pt] & \Rightarrow \text{nilai maksimum di } f(x) \ \text{untuk} \ 3x+5=90^\circ \\[8pt] 3x+5=270^\circ &\Leftrightarrow f''(x) = -18 \sin 270^\circ \\[8pt] &= 18 > 0 \\[8pt] & \Rightarrow \text{nilai minimum di } f(x) \ \text{untuk} \ 3x+5=270^\circ \end{aligned}
Berdasarkan hasil di atas, kita peroleh:
\begin{aligned} \text{untuk} \ 3x+5=90^\circ \Leftrightarrow f(x) &= 2 \sin(3x+5)+1 \\[8pt] f(x) &= 2 \sin 90^\circ + 1 \\[8pt] &= 2 \cdot 1 + 1 \\[8pt] &= 3 \quad \Rightarrow \text{nilai maksimum} \\[8pt] \text{untuk} \ 3x+5=270^\circ \Leftrightarrow f(x) &= 2 \sin(3x+5)+1 \\[8pt] f(x) &= 2 \sin 270^\circ + 1 \\[8pt] &= 2 \cdot (-1) + 1 \\[8pt] &= -1 \quad \Rightarrow \text{nilai minimum} \\[8pt] \end{aligned}
Jadi, nilai maksimum dan minimum dari fungsi \( f(x) = 2 \sin(3x+5)+1 \) adalah 3 dan -1.
Jawaban D.